第一篇：复数的代数运算教案
教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系. 教学重点：复数代数形式的除法运算. 教学难点：对复数除法法则的运用. 教具准备：多媒体、实物投影仪. 教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程：
学生探究过程：
1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 i2??1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
2.与-1的关系:就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-
3.的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.复数的定义：形如a?bi(a,b?R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示_
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即z?a?bi(a,b?R)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a?bi(a,b?R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8.复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
1 / 5 10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课：
1.乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律： (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i， z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，
同理可证：
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i， ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i]
=[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2计算：
(1)(3+4i) (3-4i) ; (2)(1+ i)2. 解：(1)(3+4i) (3-4i) =32-(4i)2=9-(-16)=25; (2) (1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数z的共轭复数为z.
2 / 5 4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)?(c+di)或者
a?bi c?di5.除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知??cx?dy?a,
?dx?cy?b.ac?bd?x?,22??c?d 解这个方程组，得??y?bc?ad.?c2?d2?于是有:(a+bi)÷(c+di)=
ac?bdbc?ad?2 i. 222c?dc?da?bi的分母有理化得：
c?di②利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将原式=a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i?? c?di(c?di)(c?di)c2?d2?(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?i. c2?d2c?d2c2?d2∴(a+bi)÷(c+di)=ac?bdbc?ad?i. c2?d2c2?d2点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c-di，相当于我们初中学习的
3?2的对偶式3?2，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c-di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
例3计算(1?2i)?(3?4i) 解：(1?2i)?(3?4i)?1?2i 3?4i?(1?2i)(3?4i)3?8?6i?4i?5?10i12?????i 22(3?4i)(3?4i)3?425553 / 5 例4计算(1?4i)(1?i)?2?4i
3?4i解：(1?4i)(1?i)?2?4i1?4?3i?2?4i7?i(7?i)(3?4i)??? 223?4i3?4i3?43?4i?21?4?3i?28i25?25i??1?i.
2525例5已知z是虚数，且z+
1z?1是实数，求证：是纯虚数. zz?1证明：设z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是 z+11a?biab?a??(b?)i. =a+bi+=a+bi+222222za?ba?ba?ba?bi1b∈R，∴b-2=0. 2za?b∵z+∵b≠0，∴a2+b2=1. ∴z?1(a?1)?bi[(a?1)?bi][(a?1)?bi]?? 22z?1(a?1)?bi(a?1)?ba2?1?b2?[(a?1)b?(a?1)b]i0?2bib???i. 22a?b?2a?11?2a?1a?1∵b≠0，a、b∈R，∴巩固练习：
1.设z=3+i,则
bi是纯虚数 a?11等于 zB.3-i
C.A.3+i
2.
31i?
1010D.
31?i 1010a?bia?bi?的值是 b?aib?ai B.i
C.-i
D.1 A.0
3.已知z1=2-i,z2=1+3i,则复数A.1 4.设
iz2?的虚部为 z15
D.-i B.-1
C.i x3y?? (x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________. 1?i2?i1?i4 / 5 答案：1.D 2.A 3.A
4.
39 , -
55课后作业：课本第112页
习题3. 2
A组4，5，6
B组1，2 教学反思：
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是：
a?biac?bdbc?ad??i(c+di≠0).
c?dic2?d2c2?d2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
第二篇：复数的代数运算教案
教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。 教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点：乘除运算 教学过程：
一、复习准备：
1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1)(1?4i)+(7?2i)
(2)(5?2i)+(?1?4i)?(2?3i) (3)(3?2i)-[(?4?3i)?(5?i)]
3. 计算：(1)(1?3)?(2?3)
(2)(a?b)?(c?d) (类比多项式的乘法引入复数的乘法)
二、讲授新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：(a?bi)(c?di)?ac?bci?adi?bdi2?(ac?bd)?(ad?bc)i。 例1.计算(1)(1?4i)?(7?2i)
(2)(7?2i)?(1?4i) (3)[(3?2i)?(?4?3i)]?(5?i) (4)(3?2i)?[(?4?3i)?(5?i)]
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律? 例2.
1、计算(1)(1?4i)?(1?4i)
(2)(1?4i)?(7?2i)?(1?4i) (3)(3?2i)2
2、已知复数Z，若，试求Z的值。变：若(2?3i)Z?8，试求Z的值。 ②共轭复数：两复数a?bi与a?bi叫做互为共轭复数，当b?0时，它们叫做共轭虚数。 注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
课堂练习：说出下列复数的共轭复数3?2i,?4?3i,5?i,?5?2i,7,2i。
③类比1?2?23?(1?(2?2)(2?3)(2?3)3)，试写出复数的除法法则。
a?bic?di(a?bi)(c?di)(c?di)(c?di)ac?bdc?d222.复数的除法法则：(a?bi)?(c?di)?其中c?di叫做实数化因子
???bc?adc?d22i
例3.计算(3?2i)?(2?3i)，(1?2i)?(?3?2i)(师生共同板演一道，再学生练习) 练习：计算3?2i(1?2i)2，3?i(1?i)?12
2.小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习： 1.计算(1)??1?i??2?i?i3
(2)i?i2?i3?i4?i5 (3)2?i1?3 2iz1z2z1z22.若z1?a?2i,z2?3?4i，且求a。
第三篇：复数的代数运算教案
教学目标
(1)把握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算;
(2)理解并把握复数加法与减法的几何意义,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;
(3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;
(4)通过学习-平行四边形法则和三角形法,培养学生的数形结合的数学思想;
(5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不轻易接受。
三、教学建议
(1)在复数的加法与减法中,重点是加法.教材首先规定了复数的加法法则.对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当 时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则.
(2)复数加法的向量运算讲解设 ,画出向量 , 后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量) ,画出向量 后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标OR与RZ(证法如教材所示).
(3)向学生介绍复数加法的三角形法则.讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行:如教材中图8-5(2)所示,求 与 的和,可以看作是求 与 的和.这时先画出第一个向量 ,再以 的终点为起点画出第二个向量 ,那么,由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量 ,就是这两个向量的和向量.
(4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处.向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当 与 在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释轻易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便.
(5)讲解了教材例2后,应强调 (注重:这里 是起点, 是终点)就是同复数 - 对应的向量.点 , 之间的距离 就是向量 的模,也就是复数 - 的模,即 .
例如,起点对应复数-1、终点对应复数 的那个向量(如图),可用 来表示.因而点 与 ( )点间的距离就是复数 的模,它等于 。
教学设计示例
复数的减法及其几何意义
教学目标
1.理解并把握复数减法法则和它的几何意义.
2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力.
3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).
教学重点和难点
重点:复数减法法则.
难点:对复数减法几何意义理解和应用.
教学过程设计
(一)引入新课
上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义.(板书课题:复数减法及其几何意义)
(二)复数减法
复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为( i)( i)=( ) ( )i,
1.复数减法法则
(1)规定:复数减法是加法逆运算;
(2)法则:( i)( i)=( ) ( )i( , , , ∈R).
把( i)( i)看成( i) (1)( i)如何推导这个法则.
( i)( i)=( i) (1)( i)=( i) ( i)=( ) ( )i.
推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算.
推导:设( i)( i)= i( , ∈R).即复数 i为复数 i减去复数 i的差.由规定,得( i) ( i)= i,依据加法法则,得( ) ( )i= i,依据复数相等定义,得
故( i)( i)=( ) ( )i.这样推导每一步都有合理依据.
我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数.是确定的复数.
复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即( i)±( i)=( ± ) ( ± )i.
(三)复数减法几何意义
我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?
设z= i( , ∈R),z1= i( , ∈R),对应向量分别为 , 如图
由于复数减法是加法的逆运算,设z=( ) ( )i,所以zz1=z2,z2 z1=z,由复数加法几何意义,以 为一条对角线, 1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数zz1的差( ) ( )i对应,如图.
在这个平行四边形中与zz1差对应的向量是只有向量 2吗?
还有 . 因为OZ2 Z1Z,所以向量 ,也与zz1差对应.向量 是以Z1为起点,Z为终点的向量.
能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
(四)应用举例
在直角坐标系中标Z1(2,5),连接OZ1,向量 1与多数z1对应,标点Z2(3,2),Z2关于x轴对称点Z2(3,2),向量 2与复数对应,连接,向量与的差对应(如图).
例2根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式.
解:设复平面内的任意两点Z1,Z2分别表示复数z1,z2,那么Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2z1的模.假如用d表示点Z1,Z2之间的距离,那么d=|z2z1|.
例3 在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么.
(1)|z1i|=|z 2 i|;
方程左式可以看成|z(1 i)|,是复数Z与复数1 i差的模.
几何意义是是动点Z与定点(1,1)间的距离.方程右式也可以写成|z(2i)|,是复数z与复数2i差的模,也就是动点Z与定点(2,1)间距离.这个方程表示的是到两点( 1,1),(2,1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点( 1,1),(2,1)为端点的线段的垂直平分线.
(2)|z i| |zi|=4;
方程可以看成|z(i)| |zi|=4,表示的是到两个定点(0,1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹.满足方程的动点轨迹是椭圆.
(3)|z 2||z2|=1.
这个方程可以写成|z(2)||z2|=1,所以表示到两个定点(2,0),(2,0)距离差等于1的点的轨迹,这个轨迹是双曲线.是双曲线右支.
由z1z2几何意义,将z1z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1z2|,由此得到线段垂直平分线,椭圆、双曲线等复数方程.使有些曲线方程形式变得更为简捷.且反映曲线的本质特征.
例4 设动点Z与复数z= i对应,定点P与复数p= i对应.求
(1)复平面内圆的方程;
解:设定点P为圆心,r为半径,如图
由圆的定义,得复平面内圆的方程|zp|=r.
(2)复平面内满足不等式|zp|解:复平面内满足不等式|zp|(五)小结
我们通过推导得到复数减法法则,并进一步得到了复数减法几何意义,应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式,可以用复数研究解析几何问题,不等式以及最值问题.
(六)布置作业P193习题二十七:2,3,8,9.
探究活动
复数等式的几何意义
复数等式 在复平面上表示以 为圆心,以1为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。
分析与解
1. 复数等式 在复平面上表示线段 的中垂线。
2. 复数等式 在复平面上表示一个椭圆。
3. 复数等式 在复平面上表示一条线段。
4. 复数等式 在复平面上表示双曲线的一支。
5. 复数等式 在复平面上表示原点为O、 构成一个矩形。
说明复数与复平面上的点有一一对应的关系,假如我们对复数的代数形式工(几何意义)之间的关系比较熟悉的话,必然会强化对复数知识的把握。
第四篇：复数的代数运算教案
1、 【我来梳理】(独学+对学)
2、 【我来尝试】(独学+对学或群学，教师出示答案，组内解决问题)
3、 【我来挑战】(独学+反馈，结合小组开展奖励活动)
4、 课后作业(学生晚修时间完成，教师应及时检查和反馈)
第一轮基础复习: 代数式总复习
学习目标：整式的概念，幂的运算，整式的运算特别是平方差，完全平方公式的运用。
一、【我来梳理】(独学)阅读并完成下面的填空。
1.代数式包括 与 ;分母中含 的代数式叫做分式，整式包括 与 。
2、幂的运算公式： = ， = ，
= ， =
3、填空 = ， = ，
平方差公式： = ，
完全平方公式： = ， =
二、【我来尝试】
4、下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知代数式 与 是同类项，那么a= 、b=
6、计算：(1) (2)
四、【我来巩固】
1、对于整式 下列说法正确的是( )
A. 是一个单项式 B.系数是2 C.次数为2次 D.由2项构成
2、下列说法中正确的是( )
A. B.
C. D.
3、 的计算结果是( )
A. B. C. D.
4、下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5、 =( )
A. B. C. D.
6、长方形一边长为 ,另一边为 ，则长方形周长为( )
A. B. C. D.
7、已知 的值为7，那么 的值是( )
A.0 B.2 C.4 D.6
二、填空题(每小题4分，共20分)
8、计算 = . 9、化简： = .
10、若单项式 是同类项，则 .
11、如果 ，那么 .
(3) (4)
三、【我来挑战】
7、计算(1) -- (2) --
(3)999 1001 (用简单方法) (4) (用简单方法)
8、从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是
9、若 ，则 =
12、若 是关于 的完全平方式，则 .
13、计算： (1) ; (2) ; (3) ; (4) ;
14、先化简，再求值： 其中x=-1,y= .
15、图a是一个长为2 m、宽为2 n的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形, 然后按图b的形状拼成一个正方形。
(1)、你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少? ;
(2)、请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积：
方法1： ;
方法2： ;
(3)、观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式: ;
(4)、根据(3)题中的等量关系，解决如下问题：若 ，
则 =